Question

如圖P₁是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P₁的左下端剪去一個半徑為

1

2

的半圓后得到圖形P₂，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形P₃、P₄、…、P_n…，記紙板P_n的面積為S_n，則

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

分析：由已知每次剪掉的半圓形面積構成一個等比數(shù)列，根據已知不難求出該數(shù)列的首項和公比，代入等比數(shù)列前n項和公式，易得剪去的所有半圓的面積和，從而得到最后紙板P_n的面積．

解答：解：每次剪掉的半圓形面積構成一個以

π

8

為首項，以

1

4

為公比的等比數(shù)列，
則

lim

n→∞

a₁+a₂+…+a_n=

π 8

1- 1 4

=

π

6

故：

lim

n→∞

Sn=

π

2

-

π

6

=

π

3

故答案為：

π

3

點評：本題考查的知識點其實是一種極限思想，當一個等比數(shù)列的|q|＜1時，

lim

n→∞

qn=0，則

lim

n→∞

a₁+a₂+…+a_n=

a1

1-q

．