Question

已知z₁=（1-sinθ）+i，其中i為虛數(shù)單位，θ∈R．
（1）求|z₁|的取值范圍；
（2）如果z₁和z2=

1

4(1+sinθ)

-

1

2cosθ

•i互為共軛復(fù)數(shù)，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，結(jié)合z₁=（1-sinθ）+i，我們易寫(xiě)出|z₁|的表達(dá)式，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)求函數(shù)值域的問(wèn)題，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，我們易得|z₁|的取值范圍；
（2）根據(jù)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部相反，我們可以構(gòu)造一個(gè)三角方程，解方程即可求出滿(mǎn)足條件的cosθ的值．

解答：解：（1）∵z₁=（1-sinθ）+i，
∴|z1|=

(1-sinθ)2+1

，
∴當(dāng)sinθ=1時(shí)，|z₁|取最小值1，
當(dāng)sinθ=-1時(shí)，|z₁|取最大值

5

，
所以|z₁|取值范圍為[1，

5

]．

（2）由條件得

1-1sinθ= 1 4(1+sinθ) 1= 1 2cosθ

，
∴cosθ=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)數(shù)求模，及復(fù)數(shù)的基本概率中共軛復(fù)數(shù)的定義．
（1）中重要的熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)；
（2）中根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部相反，構(gòu)造方程是解答本題的關(guān)鍵．