Question

函數(shù)f（x）=x³+ax²+5x+6在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   [-，]
2. B.
   （-∞，-3）
3. C.
   （-∞，-3][-，+∞）
4. D.
   [-3，]

Answer 1

C
分析：求導(dǎo)函數(shù)，f（x）在[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立，利用分離參數(shù)法，借助于導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：求導(dǎo)數(shù)可得：f′（x）=x²+2ax+5
∵f（x）在[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立．
令f′（x）=0，即x²+2ax+5=0，則a=
設(shè)g（x）=，則g′（x）=
令g′（x）=0得：x=或x=-（舍去）
∴當(dāng)1≤x≤時，g′（x）≥0，當(dāng)≤x≤3時，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，）上遞增，在（，3）上遞減，
∵g（1）=-3 g（3）=-，g（）=-
∴g（x）的最大值為g（）=-，最小值為g（1）=-3
∴當(dāng)f′（x）≤0時，a≤g（x）≤g（1）=-3
當(dāng)f′（x）≥0時，a≥g（x）≥g（）=-
∴a≤-3或a≥-
故選C．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，分離參數(shù)，求函數(shù)的最值是關(guān)鍵．