Question

一條船在如圖所示的Y型河流中行駛，從A逆流行駛到B，再從B順流行駛到C，AB間航程和BC間航程相等，水流的速度為3km/h，已知該船每小時(shí)的耗油量與船在靜水中的速度（單位：km/h）的平方成正比．
（1）當(dāng)船在AB段、BC段靜水中的速度分別是多少時(shí)，整個(gè)航行的總耗油量最小？
（2）如果在整個(gè)航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，當(dāng)船在靜水中的速度是多少時(shí)，整個(gè)航行的總耗油量最��？

Answer 1

解：設(shè)AB=BC=lkm，船在AB段，BC段靜水中的速度分別為v₁km/h，v₂km/h，所用時(shí)間分別為t₁h，t₂h，比例系數(shù)為k，耗油量分別為S₁，S₂，總耗油量為S，其中k，l為常數(shù)，v₁＞3，v₂≥0
（1），，
∴，
∴v₂=0，（S₂）_min=0

當(dāng)且僅當(dāng)，v₁=6時(shí)，（S₁）_min=12kl，此時(shí)S最小
（2）如果在整個(gè)航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，設(shè)v₁=v₂=v＞3


∴
∴時(shí)，S（v）取得最小值．
分析：設(shè)AB=BC=lkm，船在AB段，BC段靜水中的速度分別為v₁km/h，v₂km/h，所用時(shí)間分別為t₁h，t₂h，比例系數(shù)為k，耗油量分別為S₁，S₂，總耗油量為S，其中k，l為常數(shù)，v₁＞3，v₂≥0
（1），，表示出相應(yīng)的耗油量，進(jìn)而可求耗油量最小時(shí)，相應(yīng)的速度；
（2）如果在整個(gè)航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，設(shè)v₁=v₂=v＞3，，求出導(dǎo)函數(shù)，從而求出S（v）的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)最值的求解，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，有一定的綜合性．