Question

已知拋物線C：y²=8x，O為坐標原點，動直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點A，B
（1）求證：

OA

•

OB

為常數(shù)；
（2）求滿足

OM

=

OA

+

OB

的點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，利用向量的數(shù)量積運算即可證明；
（2）利用向量的運算可得點M關于k的參數(shù)方程，消去參數(shù)并求出范圍即可得出點M的軌跡方程．

解答：解：將y=k（x+2）代入y²=8x，整理得k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，
∵動直線l與拋物線C交于不同兩點A、B，
∴k≠0且△＞0，即

k≠0 (4k2-8)2-16k4＞0

解得：-1＜k＜1且k≠0．
設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8

k2

-4， x1x2=4．
（1）證明：

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=4(k2+1)+2k2(

8

k2

-4)+4k2=20，
∴

OA

•

OB

為常數(shù)．
（2）解：

OM

=

OA

+

OB

=(x1，y1)+(x2，y2)=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（x₁+x₂，k（x₁+x₂+4））=(

8

k2

-4，

8

k

)．
設M（x，y），則

x= 8 k2 -4 y= 8 k

消去k得：y²=8x+32．
又由-1＜k＜1且k≠0得：0＜k²＜1，

1

k2

＞1，∴x=

8

k2

-4＞4，
∴點M的軌跡方程為y²=8x+32（x＞4）

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、向量的數(shù)量積運算、向量的運算、直線的參數(shù)方程等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．