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【題目】已知函數

(1)若函數處的切線與直線平行,求實數的值;

(2)試討論函數在區(qū)間上最大值;

(3)若時,函數恰有兩個零點,求證:.

【答案】(1)n=6(2)見解析(3)見解析

【解析】

(1)利用導數的幾何意義求n的值.(2)n分類討論,利用導數求函數在區(qū)間上最大值.(3)先求出的關系,再換元t=1得到,再求最小值大于零即可.

(1)由f′(x)=,

由于函數f(x)在(2,f(2))處的切線與直線x﹣y=0平行,

,解得n=6

(2)f′(x)=,(x0),

f′(x)0時,xn;f′(x)0時,xn,

所以①當n1時,f(x)在[1,+∞)上單調遞減,

f(x)在[1,+∞)上的最大值為f(1)=m﹣n;

②當n1,f(x)在[1,n)上單調遞增,在(n,+∞)上單調遞減,

f(x)在[1,+∞)上的最大值為f(n)=m﹣1﹣lnn;

(3)證明:n=1時,f(x)恰有兩個零點x1,x2,(0x1x2),

,f(x2)=,得,

,

t=1,lnt=,x1=,故x1+x2=x1(t+1)=

,

記函數,因,

h(t)在(1,+∞)遞增,∵t1,h(t)h(1)=0,

lnt0,故x1+x22成立

練習冊系列答案
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