【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,,點在棱上,且.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得二面角的余弦值為?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】試題分析:(1)由邊長和勾股定理得,又平面平面,由定理證得平面 (2) 建立空間直角坐標(biāo)系, 得出平面的一個法向量為
,設(shè)平面的一個法向量為,由題意計算得出結(jié)果
解析:(Ⅰ)過點作交于,
,,
四邊形為正方形,且,
在中,,在中,
又平面平面,平面平面
平面
平面,且
平面
(Ⅱ)
又平面平面,平面平面
平面 ,
以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,
假設(shè)存在實數(shù)使得二面角的余弦值為,令
點在棱上,
設(shè)
則,
平面,平面的一個法向量為
設(shè)平面的一個法向量為
由得令得
取
化簡得又
存在實數(shù)使得二面角的余弦值為.
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓心的直角坐標(biāo);
(2)由直線上的點向圓引切線,并切線長的最小值.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點為,,離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點,線段的垂直平分線交軸于點,當(dāng)變化時,求面積的最大值.
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【題目】設(shè)函數(shù)(其中).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,討論函數(shù)的零點個數(shù).
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直角坐標(biāo)系中動點,參數(shù),在以原點為極點、軸正半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中,動點在曲線:上.
(1)求點的軌跡的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若動點的軌跡和曲線有兩個公共點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求的方程;
(2)若動點在直線上,過作直線交橢圓于兩點,使得,再過作直線,證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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【題目】橢圓()的左、右焦點分別為,,過作垂直于軸的直線與橢圓在第一象限交于點,若,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ),是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點.若直線過點,且,求直線的方程.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為,(t為參數(shù)),在以原點O為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為,兩點的極坐標(biāo)分別為.
(1)求圓的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)點是圓上任一點,求面積的最小值.
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【題目】已知向量,,.
()求函數(shù)的單增區(qū)間.
()若,求值.
()在中,角,,的對邊分別是,,.且滿足,求函數(shù)的取值范圍.
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