Question

【題目】已知單調遞增的等比數列滿足,且是的等差中項.

(Ⅰ)求數列的通項公式；

(Ⅱ)若,對任意正數數， 恒成立，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：(Ⅰ)通過是的等差中項可知，結合，可知 ，進而通過解方程，可知公比，從而可得數列的通項公式；(Ⅱ)通過(Ⅰ) ，利用錯位相減法求得，對任意正整數恒成立等價于對任意正整數恒成立，問題轉化為求的最小值，從而可得的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ)設等比數列的首項為,公比為依題意，有,

代入,得，因此,

即有解得或

又數列單調遞增，則故.

(Ⅱ) ①

②

①-②，得

對任意正整數恒成立.

對任意正整數恒成立，即恒成立，

,即的取值范圍是.

【易錯點晴】本題主要考查等差數列的通項公式以及求和公式、“錯位相減法”求數列的和，以及不等式恒成立問題，屬于難題. “錯位相減法”求數列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項 的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.