Question

【題目】已知定義在區(qū)間上兩個函數(shù)和，，，.

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若在區(qū)間單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，若對于任意，總存在，使恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先將函數(shù)f(x)的解析式進(jìn)行配方，然后討論對稱軸與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系，可求出函數(shù)y= f(x)的最大值m(a)；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，分在區(qū)間單調(diào)遞增或單調(diào)遞減兩種情況進(jìn)行討論，轉(zhuǎn)化成或恒成立問題求解即可；（3）根據(jù)題意求出g(x)的最大值，然后使，注意對a進(jìn)行分類討論，然后建立關(guān)系式，分別解之即可求出a的范圍．

（1），

則當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以；

（2），依題意，

①在上恒成立，即在上恒成立，則；

②在上恒成立，即在上恒成立，則.

綜上，實數(shù)的取值范圍為或.

（3）依題意可得，，當(dāng)時，由（2）知在上單調(diào)遞減，則，由（1）得：

①當(dāng)時，，解得，所以；

②當(dāng)時，，解得，所以.

綜上所述，.