Question

下列說法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)b=2；
②f（x）表示-2x+2與-2x²+4x+2中的較小者，則函數(shù)f（x）的最大值為1；
③若函數(shù)f（x）=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，+∞），則a=-6；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數(shù)．
其中正確說法的序號(hào)是

①③④

（注：把你認(rèn)為是正確的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：①f（x）是偶函數(shù)，應(yīng)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且一次項(xiàng)系數(shù)為0；
②f（x）表示-2x+2與-2x²+4x+2中的較小者，可用分段函數(shù)表示f（x），再求f（x）的最大值；
③f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，+∞），即x≥3時(shí)，2x+a≥0，得出a的取值；
④由題意，可求出f（1）=f（-1）=0，f（-x）與f（x）的關(guān)系，從而判定f（x）的奇偶性．

解答：解：①∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，∴有

(2a-1)+(a+4)=0 2a+b=0

，∴a=-1，b=2，命題正確；
②∵f（x）表示-2x+2與-2x²+4x+2中的較小者，∴f（x）=

-2x+2   (0≤x≤3) -2x2+4x+2(x＜0或x＞3)

，∴f（x）的最大值為2，原命題錯(cuò)誤；
③∵f（x）=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，+∞），∴當(dāng)x≥3時(shí)，2x+a≥0，∴a≥-6，故取a=-6，命題正確；
④∵f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
∴當(dāng)x=y=1時(shí)，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
當(dāng)x=y=-1時(shí)，f（1）=-f（-1）-f（-1），∴f（-1）=0；
當(dāng)y=-1時(shí)，f（-x）=x•f（-1）+[-f（x）]，即f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，命題正確．
所以，命題正確的序號(hào)是①③④

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．