【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)存在極小值點,且,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)當時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為;當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅱ) .

【解析】試題分析:求出 分兩種情況分別令得增區(qū)間, 得減區(qū)間;函數(shù)存在極小值點,所以上存在兩個零點, ,為函數(shù)的極小值點,,得,所以可得結果.

試題解析:(Ⅰ)因為函數(shù),所以其定義域為.

所以 .

時, ,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

時, .

時, ,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

時, ,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上可知,當時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為;當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

(Ⅱ)因為

所以 ).

因為函數(shù)存在極小值點,所以上存在兩個零點 ,且.

即方程的兩個根為, ,且

所以,解得.

.

時, ,當時, ,

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.

所以為函數(shù)的極小值點.

,得.

由于等價于.

,得,所以.

因為,所以有,即.

因為,所以.

解得.

所以實數(shù)的取值范圍為.

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100

200

600

20歲以上(含20歲)

100

100

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