Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1.

(1)求不等式f(x)≤6的解集；

(2)若f(x)的最小值為n，正數(shù)a，b滿足2nab＝a＋2b，求2a＋b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）{x|－1≤x≤4}（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，由絕對(duì)值的性質(zhì)可以將f（x）≤6轉(zhuǎn)化可得或，解可得x的范圍，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值為4，即n=4；進(jìn)而可得正數(shù)a，b滿足8ab=a+2b，即+=8，將2a+b變形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性質(zhì)可得2a+b的最小值，即可得答案．

試題解析：

解：(1)當(dāng)－1≤x＜3時(shí)，f(x)＝4；

當(dāng)x≥3時(shí)，f(x)＝2x－2.

∴不等式f(x)≤6等價(jià)于或

∴－1≤x＜3或3≤x≤4.

∴－1≤x≤4.

∴原不等式的解集為{x|－1≤x≤4}．

(2)由(1)，得f(x)＝可知f(x)的最小值為4，∴n＝4.

∴8ab＝a＋2b，變形得＋＝8.

∵a＞0，b＞0，

∴2a＋b＝ (2a＋b)＝≥＝.

當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時(shí)取等號(hào)．

∴2a＋b的最小值為.