Question

【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為正方形，延長(zhǎng)AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1 ， A1C1= AA1 ， ∠C1A1A= ．

（1）若E，F(xiàn)分別為C1B1 ， AC的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABB1A1；
（2）求平面A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取A1C1的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EG，

在△A1B1C1中，EG為中位線，∴EG∥A1B1，

∴GE平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，

∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，

又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，

∵EF平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．

（2）解：連結(jié)AC1，在△AA1C1中， ， ，

∴由余弦定理得 = + ﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1= ，

∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，

又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，

∴AC1⊥平面ABB1A1，

∵AB平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，

又∵側(cè)面ABB1A1為正方形，∴AA1⊥AB，

分別以AA1，AB，AC1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=1，則A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），

C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），

∴ =（2，1，﹣1）， =（1，2，﹣1）， =（﹣1，0，1）， =（0，1，0），

設(shè)平面A1B1C1的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，0，1），

設(shè)平面CB1D的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=1，得 =（1，1，3），

cos＜ ＞= = = ，

∴平面A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）取A1C1的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EG，則EG∥A1B1 ， 從而GE∥ABB1A1 ， 同理得GF∥平面ABB1A1 ， 從平面GEF∥平面ABB1A1 ， 由此能證明EF∥平面ABB1A1 ． （2）連結(jié)AC1 ， 推導(dǎo)出AC1⊥AA1 ， 從而AC1⊥平面ABB1A1 ， 再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分別以AA1 ， AB，AC1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．