Question

在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₃=

3

2

，S₃=

9

2

．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求和S_n=a₁+2a₂+…+na_n．

Answer 1

（1）由條件得：a₁q²=

3

2

，（1分）
a₁+a₁q+a₁q²=

9

2

，（2分）
∴

1+q

q2

=2（3分）
∴q=1或q=-

1

2

（4分）
當(dāng)q=1時(shí)，a₁=

3

2

，a_n=

3

2

（5分）
當(dāng)q=-

1

2

時(shí)，a₁=6，a_n=6(-

1

2

)n-1（6分）
所以當(dāng)q=1時(shí)，a_n=

3

2

；當(dāng)q=-

1

2

時(shí)，a_n=6(-

1

2

)n-1．（7分）
（2）當(dāng)q=1時(shí)，S_n=

3

2

（1+2+…+n）=

3n(n+1)

4

；（9分）
當(dāng)q=-

1

2

時(shí)，S_n=6[(-

1

2

)0+2×(-

1

2

)1+3×(-

1

2

)2+…+n(-

1

2

)n-1]（10分）
∴-

1

2

S_n=6[(-

1

2

)1+2×(-

1

2

)2+3×(-

1

2

)3+…+n(-

1

2

)n]（11分）
∴

3

2

S_n=6[1+（-

1

2

）+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1-n(-

1

2

)n]（12分）
=6[

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

-n(-

1

2

)n]（13分）
∴S_n=

8

3

-

4

3

（3n+2）×(-

1

2

)n（14分）