Question

過點M（1，1）作直線與拋物線x²=2y交于A、B兩點，該拋物線在A、B兩點處的兩條切線交于點P．
（I）求點P的軌跡方程；
（II）求△ABP的面積的最小值．

Answer 1

分析：（I）設出過點M（1，1）的直線y=k（x-1）+1與拋物線x²=2y聯立，利用導數的幾何意義表示切線斜率，將兩條直線聯立的交點坐標，再結合韋達定理消參即可
（II）將△ABP的邊|AB|和點P到直線AB的距離用斜率K表示，利用三角形面積公式S=

1

2

 =|AB|•d，即可計算求△ABP的面積的最小值

解答：解：（I）設直線AB方程為由y=k（x-1）+1，
代入x²=2y，得x²-2kx+2k-2=0

其中△=(-2k)2-4(2k-a)=4[(k-1)2+1]＞0 記A(x1， x 2 1 2 )，B(x2， x 2 2 2 )，則 x1+x2=2k，x1x2=2k-2. 對y= x2 2 求導，得y′=x

則切線PA的方程為y=x1(x-x1)+

x 2 1

2

，即y=x1x-

x 2 1

2

．①
同理，切線PB的方程為y=x2x-

x 2 2

2

．②
由①、②兩式得點P的坐標為(

x1+x2

2

，

x1x2

2

)，
于是P（k，k-1），即點P軌跡的參數方程為

x=k y=k-1

消去參數k，得點P的軌跡方程為x-y-1=0．
（II）由（I）知

|AB|= 1+k2 |x1-x2|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =2 (1+k2)(k2-2k+2) .

點P到直線AB的距離d=

|k(k-1)+1-(k-1)|

1+k2

=

k2-2k+2

1+k2

，
△ABC的面積S=

1

2

|AB|•d=(k2-2k+2)

3

2

=[(k-1)2+1]

3

2

．
當k=1時，S有最小值1．

點評：本題考查了直線與拋物線的關系，特別要注意韋達定理，設而不求解題思想的運用