Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，PD ，M為棱PB的中點． （Ⅰ）證明：DM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DM﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連結BD，取DC的中點G，連結BG， 由題意知DG=GC=BG=1，即△DBC是直角三角形，∴BC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，
∴BC⊥平面BDP，BC⊥DM，
又PD=BD= ，PD⊥BD，M為PB的中點，
∴DM⊥PB，∵PB∩BC=B，
∴DM⊥平面PDC．
（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），
P（0，0， ），M（ ），
設平面ADM的法向量 ，
則 ，
取y ，得 ，
同理，設平面ADM的法向量 ，
則 ，
取 ，得 （ ），
cos＜ ＞=﹣ ，
∵二面角A﹣DM﹣C的平面角是鈍角，
∴二面角A﹣DM﹣C的余弦值為﹣ ．
【解析】（Ⅰ）連結BD，取DC的中點G，連結BG，由已知條件推導出BC⊥DM，DM⊥PB，由此能證明DM⊥平面SDC．（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣DM﹣C的余弦值．