如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點，點在直線上，且；

（Ⅰ）證明：無論取何值，總有；

（Ⅱ）當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時的正切值；

（Ⅲ）是否存在點，使得平面與平面所成的二面角為30º，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由．

 

【答案】

 

（1）略

（2）∴當(dāng)＝時，θ取得最大值，此時sinθ=,cosθ=,tanθ=2

（3）∴不存在點P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º

【解析】本題主要考查了直線與平面所成的角，以及直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．

（1）以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，分別求出 PN,AM

的坐標，要證PN⊥AM，只需求證它們的數(shù)量積為零即可；

（2）過P作PE⊥AB于E，連接EN，則∠PNE為直線PN與平面ABC所成的角θ，求出此角的正切值，然后研究其最大值即可求出λ的值．

(3) 假設(shè)存在，則，設(shè)是平面PMN的一個法向量,那么利用向量的坐標得到參數(shù)的值，進而判定方程有無解，說明結(jié)論。

 

練習(xí)冊系列答案
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（本小題滿分12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點，點在直線上，且；

（1）證明：無論取何值，總有；

（2）當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時的正切值；

（3）是否存在點，使得平面與平面所成的二面角為30º，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇無錫市高二第二學(xué)期期中數(shù)學(xué)理試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，⊥AC，M是的中點，N是BC的中點，點P在直線 上，且滿足.

（1）當(dāng)取何值時，直線PN與平面ABC所成的角最大？

（2）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為，試確定點P的位置.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆湖北省高二下學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M是的中點，是的中點，點在上，且滿足.

（1）證明：.

（2）當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角最大值的正切值.

（3）若平面與平面所成的二面角為，試確定P點的位置.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，⊥AC，

M是的中點，N是BC的中點，點P在直線上，且滿足.

（Ⅰ）當(dāng)取何值時，直線PN與平面ABC所成的角最大？并求sin的值；

（Ⅱ）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為，試確定點P的位置.

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