【題目】給定橢圓 C : ,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓 C 伴隨圓”.若橢圓 C 的一個焦點為 F1(, 0) ,其短軸上的一個端點到 F1 的距離為

1)求橢圓 C 的方程及其伴隨圓方程;

2)若傾斜角 45°的直線 l 與橢圓 C 只有一個公共點,且與橢圓 C 的伴隨圓相交于 M .N 兩點,求弦 MN 的的長;

3)點 P 是橢圓 C 的伴隨圓上一個動點,過點 P 作直線 l1l2,使得 l1、l2與橢圓 C 都只有一個公共點,判斷l1、l2的位置關(guān)系,并說明理由.

【答案】1)橢圓方程:;伴隨圓方程: x2 y2 1 ;(2 2;(3)垂直,(斜率乘積為 1 ,分斜率存在與否)

【解析】

1)直接由橢圓C的一個焦點為,其短軸上的一個端點到F1的距離為,求出,即可求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程;

2)先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用對應(yīng)的判別式為0求出,進(jìn)而求出直線方程以及圓心到直線的距離;即可求弦MN的長;

3)先對直線l1,l2的斜率是否存在分兩種情況討論,然后對每一種情況中的直線l1,l2與橢圓C都只有一個公共點進(jìn)行求解即可證:l1l2.(在斜率存在時,是先設(shè)直線方程,把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用斜率為對應(yīng)方程的根來判斷結(jié)論).

解:(1)因為,所以b1

所以橢圓的方程為,

伴隨圓的方程為x2+y24

2)設(shè)直線l的方程yx+b,由4x2+6bx+3b230

由△=(6b2163b23)=0b24

圓心到直線l的距離為

所以

3當(dāng)l1l2中有一條無斜率時,不妨設(shè)l1無斜率,

因為l1與橢圓只有一個公共點,則其方程為

當(dāng)l1方程為時,此時l1與伴隨圓交于點,

此時經(jīng)過點(或且與橢圓只有一個公共點的直線是y1(或y=﹣1),

l2y1(或y=﹣1),顯然直線l1,l2垂直;

同理可證l1方程為時,直線l1l2垂直.

當(dāng)l1,l2都有斜率時,設(shè)點Px0,y0),其中x02+y024,

設(shè)經(jīng)過點Px0,y0),與橢圓只有一個公共點的直線為ykxx0+y0

,消去y得到x2+3kx+y0kx0))230

即(1+3k2x2+6ky0kx0x+3y0kx0230,

△=[6ky0kx0]241+3k2[3y0kx023]0,

經(jīng)過化簡得到:(3x02k2+2x0y0k+1y020

因為x02+y024,所以有(3x02k2+2x0y0k+x023)=0,

設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k2,因為l1,l2與橢圓都只有一個公共點,

所以k1,k2滿足方程(3x02k2+2x0y0k+x023)=0

因而k1k2=﹣1,即l1l2垂直.

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7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

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