【題目】(本小題滿分13分) 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線C上.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)記O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程
【答案】(Ⅰ) 雙曲線方程為(Ⅱ) 滿足條件的直線l有兩條,基方程分別為y=和y=
【解析】
試題(1)由雙曲線焦點(diǎn)可得值,進(jìn)而可得到的關(guān)系式,將點(diǎn)P代入雙曲線可得到的關(guān)系式,解方程組可求得值,從而確定雙曲線方程;(2)求直線方程采用待定系數(shù)法,首先設(shè)出方程的點(diǎn)斜式,與雙曲線聯(lián)立,求得相交的弦長和O到直線的距離,代入面積公式可得到直線的斜率,求得直線方程
試題解析:(1)由已知及點(diǎn)在雙曲線上得
解得;所以,雙曲線的方程為.
(2)由題意直線的斜率存在,故設(shè)直線的方程為
由 得 設(shè)直線與雙曲線交于、,則、是上方程的兩不等實(shí)根,
且即且 ①
這時(shí) ,
又
即
所以 即
又 適合①式
所以,直線的方程為與.
另解:求出及原點(diǎn)到直線的距離,利用求解. 或求出直線與軸的交點(diǎn),利用
求解
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為, 上的動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),直線恰與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的離心率為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,若交直線于兩點(diǎn).問以為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,過拋物線上一定點(diǎn),作兩條直線分別交拋物線于,.
(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離;
(2)當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),求的值,并證明直線的斜率是非零常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(限定).
(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并求與交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)射線與曲線與分別交于點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記函數(shù)的極小值為,若恒成立,求滿足條件的最小整數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知由自然數(shù)組成的元集合,非空集合,且對任意的,都有.
(1)當(dāng)時(shí),求所有滿足條件的集合;
(2)當(dāng)時(shí),求所有滿足條件的集合的元素總和;
(3)定義一個(gè)集合的“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該集合的元素,然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù).例如集合的交替和是,集合的交替和為.當(dāng)時(shí),求所有滿足條件的集合的“交替和”的總和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元。設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達(dá)式。
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),等腰直角三角形的底邊,點(diǎn)在線段上,于,現(xiàn)將沿折起到的位置(如圖(2))
(1)求證:;
(2)若,直線與平面所成的角為,求長.
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