【題目】如圖，將等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折，使二面角的大小為，翻折后的中點(diǎn)為.

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折，則， ，又是的中點(diǎn)，易得，，再利用線面垂直的判定定理證明.

（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，易知二面角的平面角是，則，然后分別求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，代入公式求解..

（Ⅰ）∵折疊前，是斜邊上的高，

∴是的中點(diǎn)，

∴，又因?yàn)檎郫B后是的中點(diǎn)，

∴，折疊后，

∴，，

∴平面；

（Ⅱ）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，易知二面角的平面角是，

則，

∴，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

得，即，令,

得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量,

得，即，令，

得

∴.

所以二面角的余弦值是 .

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)籠子里關(guān)著只貓，其中有只白貓，只黑貓．把籠門打開一個(gè)小口，使得每次只能鉆出只貓．貓爭先恐后地往外鉆.如果只貓都鉆出了籠子，以表示只白貓被只黑貓所隔成的段數(shù)．例如，在出籠順序?yàn)椤啊酢觥酢酢酢酢觥酢酢觥敝�，則．

（1）求三只黑貓挨在一起出籠的概率；

（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖：某快遞小哥從A地出發(fā)，沿小路以平均時(shí)速20公里/小時(shí)，送快件到C處，已知（公里），，，是等腰三角形，.

（1）試問，快遞小哥能否在50分鐘內(nèi)將快件送到C處？

（2）快遞小哥出發(fā)15分鐘后，快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車平均時(shí)速60公里/小時(shí)，問，汽車能否先到達(dá)C處？

參考值：，， .

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【題目】如圖，在四棱錐中，為正方形，且平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？并說明理由；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，正方形邊長為，將沿翻折到的位置，使得二面角的大小為.

（1）證明：平面平面；

（2）點(diǎn)在直線上，且直線與平面所成角正弦值為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動點(diǎn)，若直線與平面不存在公共點(diǎn)，以下說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①三棱錐的體積為定值；

②的面積的最小值為；

③平面；

④經(jīng)過三點(diǎn)的截面把正方體分成體積相等的兩部分.

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在底面是菱形的四棱錐中，，點(diǎn)在上，且，面面．

（1）證明：；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)則x∈[﹣1，e]時(shí)，f（x）的最小值為_____；設(shè)g（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a若函數(shù)g（x）有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，方程C:表示的曲線被稱作“四葉玫瑰線”(如圖)

（1）求以極點(diǎn)為圓心的單位圓與四葉玫瑰線交點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)；

（2）直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合，x軸正半軸與極軸重合.求直線l:上的點(diǎn)M與四葉攻瑰線上的點(diǎn)N的距離的最小值.

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