Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，長軸長為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求證：由點(diǎn) 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對稱．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），離心率；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知，得a，c＝1，所以，由 ，所以b，即可求出橢圓方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），，分兩種情況，借助韋達(dá)定理和向量的運(yùn)算，求出點(diǎn)M構(gòu)成的曲線L的方程為2x2+3y2﹣2y＝0，即可證明。

（Ⅰ）由已知，得，所以，

又，所以

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率.

（Ⅱ）設(shè)，， ，

①直線 與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．

因?yàn)?/span>，，，

所以．

所以，即點(diǎn)與原點(diǎn)重合;

②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由

得，．

所以.

則，

因?yàn)?/span>，，，

所以．

所以，．，，

消去得．

綜上，點(diǎn)構(gòu)成的曲線的方程為

對于曲線的任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．

把的坐標(biāo)代入曲線的方程的左端：．

所以點(diǎn)也在曲線上．

所以由點(diǎn)構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對稱.