Question

已知函數(shù)f(x)＝ax²＋bx(a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－2x＋7，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)P_n(n，S_n)(n∈N^*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n的最大值．

Answer 1

a_n＝－2n＋8(n∈N^*)，當(dāng)n＝3或n＝4時(shí)，S_n取得最大值12

由題意可知：∵f(x)＝ax²＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7對(duì)應(yīng)相等可得a＝－1，b＝7，
∴可得f(x)＝－x²＋7x.因?yàn)辄c(diǎn)P_n(n，S_n)(n∈N^*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，所以有S_n＝－n²＋7n.
當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝6；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝－2n＋8，a₁＝6適合上式，
∴a_n＝－2n＋8(n∈N^*)．
令a_n＝－2n＋8≥0得n≤4，當(dāng)n＝3或n＝4時(shí)，S_n取得最大值12.
綜上，a_n＝－2n＋8(n∈N^*)，當(dāng)n＝3或n＝4時(shí)，S_n取得最大值12.