Question

已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上恒成立，求所有實(shí)數(shù)的值；

（3）對(duì)任意的，證明：

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，就是在定義域內(nèi)考慮 導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，先求導(dǎo)函數(shù)得，，令，得，討論根與定義域的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，將定義域分段，分別考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（1）只需函數(shù)的最大值小于等于0即可，由（1）得，當(dāng)時(shí)，減區(qū)間為，且，故不滿足；當(dāng)時(shí)，，記，可求得，故，故；（3）由（2）得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，即，又，結(jié)合起來(lái)證明即可.

試題解析：（1）， 1分

當(dāng)時(shí)，，減區(qū)間為 2分

當(dāng)時(shí)，由得，由得 3分

∴遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為 4分

（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上為減區(qū)間，而

∴在區(qū)間上不可能恒成立 5分

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，

，令， 6分

依題意有，而，且

∴在上遞減，在上遞增，

∴，故 9分

（3）由（2）知：時(shí)，且恒成立

即恒成立

則

11分

又由知在上恒成立，

∴ 13分

綜上所述：對(duì)任意的，證明： 14分

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.