【題目】已知橢圓的離心率為,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4,圓過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)),直線的斜率分別為.

(1)求橢圓的方程;

(2)當(dāng)變化時(shí),①求的值;②試問直線是否過某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)由題設(shè)知, , ,又,解得,由此可得求橢圓的方程;2,則有,化簡(jiǎn)得,對(duì)于直線,同理有,于是是方程的兩實(shí)根,故,即可證明結(jié)果;②考慮到時(shí), 是橢圓的下頂點(diǎn), 趨近于橢圓的上頂點(diǎn),故若過定點(diǎn),則猜想定點(diǎn)在軸上.

,得,于是有,直線的斜率為,直線的方程為,令,得,即可證明直線過定點(diǎn).

試題解析:(1)由題設(shè)知, ,又,

解得.

故所求橢圓的方程是.

2,則有,化簡(jiǎn)得,

對(duì)于直線,同理有,

于是是方程的兩實(shí)根,故.

考慮到時(shí), 是橢圓的下頂點(diǎn), 趨近于橢圓的上頂點(diǎn),故若過定點(diǎn),則猜想定點(diǎn)在軸上.

,得,于是有.

直線的斜率為,

直線的方程為,

,得,

故直線過定點(diǎn).

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(1)求橢圓的方程;

(2)當(dāng)變化時(shí),①求的值;②試問直線是否過某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由.

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(1)求的值;

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