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【題目】定義：如果函數f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）滿足 ， ，則稱函數f（x）是[a，b]上的“雙中值函數”．已知函數f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“雙中值函數”，則實數a的取值范圍是（ ）
A.
B.（ ）
C.（ ，1）
D.（ ，1）

【答案】C
【解析】解：由題意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x在區(qū)間[0，a]存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b），
滿足f′（x1）=f′（x2）= =a2﹣a，
∵f（x）=x3﹣x2+a，
∴f′（x）=3x2﹣2x，
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在區(qū)間（0，a）有兩個不相等的解．
令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）
則，
解得； ．
∴實數a的取值范圍是（ ，1）
故選：C
根據題目給出的定義可得f′（x1）=f′（x2）= =a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在區(qū)間（0，a）有兩個解，利用二次函數的性質可知實數a的取值范圍．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ，點是邊的中點，將沿折起，使平面平面，連接， ， ，得到如圖所示的幾何體．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）若， 與其在平面內的正投影所成角的正切值為，求點到平面的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x﹣y﹣5=0，AC邊上的高BH所在直線的方程為x﹣2y﹣5=0．
（1）求直線BC的方程；
（2）求直線BC關于CM的對稱直線方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ，點分別為的中點.

（1）證明： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線AD1與BD所成的角為；若AB的中點為M，DD1的中點為N，則異面直線B1M與CN所成的角為 ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=x3+x，對任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，則x的取值范圍為 ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長均為a，M是BC的中點，側面B1C1CB⊥底面ABC，且AC1⊥BC．
（Ⅰ）求證：BC⊥C1M；
（Ⅱ）求二面角A1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知a，b是正實數，設函數f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．
（Ⅰ）設h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若存在x0 ， 使x0∈[ ， ]且f（x0）≤g（x0）成立，求 的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數f（x）=mx2﹣2x﹣3，關于實數x的不等式f（x）≤0的解集為（﹣1，n）
（1）當a＞0時，解關于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；
（2）是否存在實數a∈（0，1），使得關于x的函數y=f（ax）﹣3ax+1（x∈[1，2]）的最小值為﹣5？若存在，求實數a的值；若不存在，說明理由．

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