Question

【題目】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)，是直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且滿(mǎn)足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）已知點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn).判定直線(xiàn)的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，，由條件的線(xiàn)段比例可得，，代入圓的方程中即可得解；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立得得，設(shè)，，由 ，結(jié)合韋達(dá)定理代入求解即可.

（1）設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?/span>，點(diǎn)在直線(xiàn)上，

所以，.①

因?yàn)辄c(diǎn)在圓：上運(yùn)動(dòng)，所以.②

將①式代入②式，得曲線(xiàn)的方程為.

（2）由題意可知的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

令，得的坐標(biāo)為.

由，得.

設(shè)，，則有，.③

記直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，

從而，，.

因?yàn)橹本�(xiàn)的方程為，所以，，

所以

.④

把③代入④，得.

又，所以，

故直線(xiàn)，，的斜率成等差數(shù)列.