【題目】已知函數(shù)f(x)=e﹣x﹣ .
(Ⅰ)證明:當(dāng)x∈[0,3]時(shí), .
(Ⅱ)證明:當(dāng)x∈[2,3]時(shí), .
【答案】證明:(Ⅰ)要證 ,也即證ex≤1+9x.
令F(x)=ex﹣9x﹣1,則F′(x)=ex﹣9.令F′(x)>0,則x>2ln3.
∴當(dāng)0≤x<2ln3時(shí),有F′(x)<0,∴F(x)在[0,2ln3]上單調(diào)遞減,
2ln3<x≤3時(shí),有F′(x)>0,∴F(x)在[2ln3,3]上單調(diào)遞增.
∴F(x)在[0,3]上的最大值為max{F(0),F(xiàn)(3)}.
又F(0)=0,F(xiàn)(3)=e3﹣28<0.
∴F(x)≤0,x∈[0,3]成立,即ex≤1+9x,x∈[0,3]成立.
∴當(dāng)x∈[0,3]時(shí), .
(Ⅱ)由(I)得:當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)= ≥ ,
令 ,
則t′(x)=﹣(1+9x)﹣29+(1+x)﹣2
=
=
= ≥0,x∈[2,3].
∴t(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,即t(x)≥t(2)=﹣ =﹣ ,x∈[2,3].
∴f(x)>﹣ 得證.
下證f(x)<0.即證ex>x+1,
令h(x)=ex﹣(x+1),則h′(x)=ex﹣1>0,∴h(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,
∴h(x)=ex﹣(x+1)≥e2﹣3>0,得證.
∴當(dāng)x∈[2,3]時(shí),
【解析】(Ⅰ)要證 ,即證ex≤1+9x,令F(x)=ex﹣9x﹣1,則F′(x)=ex﹣9,推導(dǎo)出F(x)在[0,3]上的最大值為max{F(0),F(xiàn)(3)}.由此能證明當(dāng)x∈[0,3]時(shí), .
(Ⅱ)當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)= ≥ ,令 ,則t′(x)= ≥0,x∈[2,3],由此能證明f(x)>﹣ ,證明f(x)<0,即證ex>x+1,令h(x)=ex﹣(x+1),則h′(x)=ex﹣1>0,由此能證明h(x)=ex﹣(x+1)≥e2﹣3>0.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點(diǎn)P.
(1)點(diǎn)A(5,0)到直線l的距離為3,求直線l的方程;
(2)求點(diǎn)A(5,0)到直線l的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4),現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號(hào).
(1)求X的分布列,均值和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,試求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=log2x+ax+b(a>0),若存在實(shí)數(shù)b,使得對(duì)任意的x∈[t,t+2](t>0)都有|f(x)|≤1+a,則t的最小值是( )
A.2
B.1
C.
D.
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【題目】直線l過(guò)定點(diǎn)P(0,1),且與直線l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0分別交于A、B兩點(diǎn).若線段AB的中點(diǎn)為P,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l:mx﹣y﹣m+2=0與圓C:x2+y2+4x﹣4=0交于A,B兩點(diǎn),若△ABC為直角三角形,則m= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)F為雙曲線 ﹣ =1(a>b>0)的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線分別交兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),OA⊥AB,若2|AB|=|OA|+|OB|,則該雙曲線的離心率為( )
A.
B.2
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】假設(shè)某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
試求:(1)y與x之間的回歸方程;
(2)當(dāng)使用年限為10年時(shí),估計(jì)維修費(fèi)用是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,∈[1,+∞).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;
(3)若對(duì)任意∈[1,+∞),>0恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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