【題目】 設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)若,討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,
(i)證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)
(ii)設(shè)為的極值點(diǎn),為的零點(diǎn),且,證明.
【答案】(I)在內(nèi)單調(diào)遞增.;
(II)(i)見(jiàn)解析;(ii)見(jiàn)解析.
【解析】
(I);首先寫出函數(shù)的定義域,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),判斷導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的符號(hào),從而得到結(jié)果;
(II)(i)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性,求得極值的符號(hào),從而確定出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),得到結(jié)果;
(ii)首先根據(jù)題意,列出方程組,借助于中介函數(shù),證得結(jié)果.
(I)解:由已知,的定義域?yàn)?/span>,
且,
因此當(dāng)時(shí),,從而,
所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
(II)證明:(i)由(I)知,,
令,由,可知在內(nèi)單調(diào)遞減,
又,且,
故在內(nèi)有唯一解,
從而在內(nèi)有唯一解,不妨設(shè)為,
則,當(dāng)時(shí),,
所以在內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,
所以在內(nèi)單調(diào)遞減,
因此是的唯一極值點(diǎn).
令,則當(dāng)時(shí),,故在內(nèi)單調(diào)遞減,
從而當(dāng)時(shí),,所以,
從而,
又因?yàn)?/span>,所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn),
又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1,從而,在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).
(ii)由題意,,即,
從而,即,
以內(nèi)當(dāng)時(shí),,又,故,
兩邊取對(duì)數(shù),得,
于是,整理得,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校計(jì)劃面向高一年級(jí)名學(xué)生開設(shè)校本選修課程,為確保工作的順利實(shí)施,先按性別進(jìn)行分層抽樣,抽取了名學(xué)生對(duì)社會(huì)科學(xué)類,自然科學(xué)類這兩大類校本選修課程進(jìn)行選課意向調(diào)查,其中男生有人.在這名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為人.
(Ⅰ)分別計(jì)算抽取的樣本中男生及女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率,并以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率,估計(jì)實(shí)際選課中選擇社會(huì)科學(xué)類學(xué)生數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)抽取的名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果,完成下列列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)?
選擇自然科學(xué)類 | 選擇社會(huì)科學(xué)類 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
附: ,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,已知函數(shù) ,則當(dāng)函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)的取值集合為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓為⊙H.
(1)若直線l過(guò)點(diǎn)C,且被⊙H截得的弦長(zhǎng)為2,求直線l的方程;
(2)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P,若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),求⊙C的半徑r的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題,按照題目要求獨(dú)立完成規(guī)定:至少正確完成其中道題的便可通過(guò).已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成,道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響
(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望;
(2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)的面試通過(guò)的可能性大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記在區(qū)間的最大值為,最小值為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,多面體ABCD﹣A1B1C1D1為正方體,則下面結(jié)論正確的是( 。
A.A1B∥B1C
B.平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1
C.平面CB1D1∥平面A1BD
D.異面直線AD與CB1所成的角為30°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是( )
A.樣本頻率分布直方圖中的小矩形的面積就是對(duì)應(yīng)組的頻率
B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心
C.若樣本的平均數(shù)是2,方差是2,則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4,方差是4
D.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,事件“向上點(diǎn)數(shù)不大于3”和事件“向上點(diǎn)數(shù)不小于4”是對(duì)立事件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高三理科班共有名同學(xué)參加某次考試,從中隨機(jī)挑出名同學(xué),他們的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)如下表:
數(shù)學(xué)成績(jī) | |||||
物理成績(jī) |
(1)數(shù)據(jù)表明與之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)本次考試中,規(guī)定數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到分為優(yōu)秀,物理成績(jī)達(dá)到分為優(yōu)秀.若該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為和,且除去抽走的名同學(xué)外,剩下的同學(xué)中數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學(xué)共有人,請(qǐng)寫出列聯(lián)表,判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)?
參考數(shù)據(jù):,;,;
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