【題目】已知在中,兩直角邊,的長(zhǎng)分別為,以的中點(diǎn)為原點(diǎn),所在直線為軸,以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,橢圓,為焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)直線相交于,兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得為等邊三角形,若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1;(2)存在,

【解析】

1)由題意,得到橢圓的定義求得的值,再結(jié)合的關(guān)系,求得,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)假設(shè)存在軸上存在點(diǎn)點(diǎn),由題意聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求得點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而求出弦長(zhǎng),再根據(jù)C到弦AB的中點(diǎn)P的距離為弦長(zhǎng)的倍,結(jié)合,求得C的坐標(biāo),進(jìn)而求得的值.

1)由題意,根據(jù)橢圓的定義,可得,

所以,又,

,又焦點(diǎn)在x軸上,

故所求橢圓方程為.

2)假設(shè)在軸上存在點(diǎn),使得為正三角形.

設(shè),線段AB的中點(diǎn)為,則.

,整理得,

,解得,

所以,

,

,則,

,則,即,,

所以,

解得,滿足條件

所以在軸上存在點(diǎn),使得為正三角形.

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1)若函數(shù)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

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【題目】已知橢圓x軸負(fù)半軸交于,離心率.

1)求橢圓C的方程;

2)設(shè)直線與橢圓C交于兩點(diǎn),連接AM,AN并延長(zhǎng)交直線x=4兩點(diǎn),若,直線MN是否恒過(guò)定點(diǎn),如果是,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo),如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)過(guò)點(diǎn)且斜率大于0的直線的另一個(gè)交點(diǎn)為,與直線的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線與直線交于點(diǎn),求面積的最小值.

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