Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在時取得極值，當(dāng)時，求使得恒成立的實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切弦的斜率，利用點斜式可得結(jié)果.

（2）根據(jù)，可得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并根據(jù)的最值與的關(guān)系，可得結(jié)果.

（3）采用等價轉(zhuǎn)化的思想，可得在恒成立，并使用分離參數(shù)，構(gòu)建新函數(shù)，根據(jù)的最值與的大小關(guān)系，可得結(jié)果.

（1）時，，

，

，，

故切線方程是：，

即；

（2），

，解得：，

∴，

，

令，解得：或，

令，解得：，

∴在遞增，在遞減，

∴的最小值是或，

而，，

∴；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則在恒成立，

即在恒成立，

令，，

在恒成立，

∴在遞減，，

∴.