Question

（2011•重慶一模）已知橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點(diǎn)T，且G為線段FT的中點(diǎn)，求直線FG被圓C所截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅲ）在平面上是否存在一點(diǎn)P，使得

GF

GP

=

1

2

？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題易知圓C的圓心為（-

a2

c

，0）而a=2

2

，b=2可求出圓心為（-4，0）又圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O故半徑為4所以圓C的方程為（x+4）²+y²=16
（2）可利用直線FG與直線l聯(lián)立求出t點(diǎn)坐標(biāo)再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出G（-3，y_G）再代入圓C的方程求出y_G進(jìn)而求出FG的方程為y=

+

.

15

（x+2），然后利用圓心到直線的距離公式求出C（-4，0）到FG的距離d=

15

2

再利用勾股定理即可求出弦長(zhǎng)的一半進(jìn)而求解．

（3）假設(shè)存在P（s，t），G（x₀，y₀）使得

GF

GP

=

1

2

成立利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)可得方程3（x₀²+y₀²）+（16+2s）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0再結(jié)G（x₀，y₀）在圓C即x₀²+y₀²+8x₀=o可得（2s-8）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0對(duì)所有的x₀，y_0．成立
故2s-8=0，2t=0，16-s²-t²=0所以s=4，t=0即存在p（4，0）滿足題意．

解答：解：（1）∵a=2

2

，b=2
∴c=2
∴左準(zhǔn)線方程為x=-

a2

c

=-4
∴圓心為（-4，0）
∵圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O故半徑為4
∴圓C的方程為（x+4）²+y²=16
（2）由題意知，得G（-3，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得y=

+

.

15

所以FG的斜率為K=y=

+

.

15

，F(xiàn)G的方程為y=

+

.

15

（x+2）
所以C（-4，0）到FG的距離d=

15

2

，直線FG被圓C截得弦長(zhǎng)為2

16-( 15 2 )2

=7
故直線FG被圓C截得弦長(zhǎng)為7．
（3）設(shè)P（s，t），G（x₀，y₀），則由

GF

GP

=

1

2

，得

(x0+2)2+y02

(x0-s)2+(y0-t)2

=

1

2

，
整理得3（x₀²+y₀²）+（16+2s）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0①
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=o②

②代入①得（2s-8）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0
又G（x₀，y₀）為圓C上任意一點(diǎn)可知，2s-8=0，2t=0，16-s²-t²=0解得s=4，t=0．
所以在平面上存在一點(diǎn)p，其坐標(biāo)為（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題第一問主要考查了利用橢圓的有關(guān)知識(shí)求圓的方程關(guān)鍵是要知道橢圓的左準(zhǔn)線方程是x=-

a2

c

．第二問考查了利用圓心到直線的距離公式求出d再利用半徑，d，弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形再采用勾股定理即可求解．對(duì)于第三問較難但思路較簡(jiǎn)單即假設(shè)存在P（s，t），G（x₀，y₀）使得

GF

GP

=

1

2

成立，關(guān)鍵是得出（2s-8）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0后怎么辦是難點(diǎn)！實(shí)質(zhì)上這是恒成立的問題只需系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為0即可求出s，t．