函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在x0∈D，使f(x0)＝x0，則稱點(diǎn)(x0，x0)為函數(shù)f(x)圖象上的不動點(diǎn)．

(1)試證明：若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動點(diǎn)，則不動點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)．

(2)若函數(shù)f(x)＝的圖象上有兩個(gè)關(guān)于直線x＋y＝3對稱的不動點(diǎn)，求a的值．

答案：
解析：

 　　解(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)

　　解(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)．又因?yàn)閤∈R，令x＝0，所以f(0)＝0．

　　所以(0，0)是奇函數(shù)f(x)的一個(gè)不動點(diǎn)．設(shè)c≠0，(c，c)是f(x)的一個(gè)不動點(diǎn)，f(c)＝c．由于f(－c)＝－f(c)＝－c，所以(－c，－c)也是f(x)的一個(gè)不動點(diǎn)．且－c≠c，即奇函數(shù)f(x)的非零不動點(diǎn)如果存在，則必成對．又因?yàn)閒(x)只有有限個(gè)不動點(diǎn)，所以不動點(diǎn)數(shù)目是奇數(shù)個(gè)．

　　(2)設(shè)點(diǎn)(x0，x0)是f(x)＝圖象上的一個(gè)不動點(diǎn)，則(x0，x0)關(guān)于直線x＋y＝3的對稱點(diǎn)(3－x0，3－x0)也是f(x)的不動點(diǎn)，即x0，3－x0是方程x＝的兩個(gè)根．

　　整理得，x2＋(a－2)x－4＝0，由韋達(dá)定理得，－(a－2)＝x0＋(3－x0)，a＝－1故f(x)＝．


練習(xí)冊系列答案
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設(shè)f(x)＝是R上的奇函數(shù)．

(1)求a的值；

(2)求f(x)的反函數(shù)f－1(x)；

(3)對任意給的k∈R+，解不等式f－1(x)＞log2．

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函數(shù)f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤，對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍．

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函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽，且f(－n)＝0(n∈N)．

(1)求證：a＞0，b＜0；

(2)(文)若f(1)＝且f(0)＝，求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＞n＋－(n∈N)．

(理)若f(1)＝，且f(x)在［0，1]上的最小值為，求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＞n＋－(n∈N)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：安徽省蚌埠二中2007屆第二次月考試卷、數(shù)學(xué)(文) 題型：044

解答題：

f(x)是定義在(0，＋)上的增函數(shù)，且對任意正實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，解關(guān)于x的不等式f(logx)0＜0

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