【題目】如圖所示,拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點(diǎn)為F,C上的一點(diǎn)M(4,m)滿足|MF|=4.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)E(﹣1,0)作不經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線EA,EB分別與拋物線C和圓F:x2+(y﹣2)2=4相切于點(diǎn)A,B,試判斷直線AB是否經(jīng)過焦點(diǎn)F.
【答案】(1)x2=8y(2)直線AB的方程為,經(jīng)過焦點(diǎn)F(0,2)
【解析】試題分析:(1)由點(diǎn)M(4,m)在拋物線上得16=2pm,根據(jù)拋物線的定義得|MF|=m+=4,建立關(guān)于p的方程求得p即可得到所求方程;(2)設(shè)出直線EA,EB的方程,根據(jù)相切利用代數(shù)方法求得切點(diǎn)A,B的坐標(biāo),然后求得直線AB的方程后驗(yàn)證即可。
試題解析:
(1)由條件得拋物線C的準(zhǔn)線方程為,
∴|MF|=m+=4,
∵點(diǎn)M(4,m)在拋物線上,
∴16=2pm,
∴p2﹣8p+16=0,解得p=4,
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y。
(2)設(shè)直線EA的方程為,
由,消去x整理得得2y2﹣(2+8)y+1=0,
∵直線EA與拋物線C相切,
∴△=(2+8)2﹣42=0,解得=﹣2,
∴y2﹣4y+1=0
解得
∴,
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為,
設(shè)直線EB的方程為x=ty﹣1,
由,消去x整理得:(t2+1)y2﹣(2t+4)y+1=0,
∵直線EB與圓F相切,
∴△=(2t+4)2﹣4(t2+1)=0,解得,
∴25y2﹣40y+16=0
解得y,
,
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為,
∴直線AB的斜率,
可得直線AB的方程為,該直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F(0,2)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條弦和,且,判斷直線是否過定點(diǎn)?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解某學(xué)校高二年級學(xué)生的物理成績,從中抽取n名學(xué)生的物理成績(百分制)作為樣本,按成績分成 5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],頻率分布直方圖如圖所示.成績落在[70,80)中的人數(shù)為20.
男生 | 女生 | 合計 | |
優(yōu)秀 | |||
不優(yōu)秀 | |||
合計 |
(Ⅰ)求a和n的值;
(Ⅱ)根據(jù)樣本估計總體的思想,估計該校高二學(xué)生物理成績的平均數(shù)和中位數(shù)m;
(Ⅲ)成績在80分以上(含80分)為優(yōu)秀,樣本中成績落在[50,80)中的男、女生人數(shù)比為1:2,成績落在[80,100]中的男、女生人數(shù)比為3:2,完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為物理成績優(yōu)秀與性別有關(guān).
參考公式和數(shù)據(jù):K2= .
P(K2≥k) | 0.50 | 0.05 | 0.025 | 0.005 |
k | 0.455 | 3.841 | 5.024 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) , 是其函數(shù)圖象的一條對稱軸. (Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若f(x)的定義域?yàn)? ,值域?yàn)閇﹣1,5],求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表
商店名稱 | A | B | C | D | E |
銷售額x(千萬元) | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利潤額y(百萬元) | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)畫出散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖,說明兩個變量有怎樣的相關(guān)性.
(2)用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程.
(3)當(dāng)銷售額為4(千萬元)時,估計利潤額的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四個數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,和為19,后三個數(shù)成等差數(shù)列,和為12,求此四個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示,已知四邊形是由直角△和直角梯形拼接而成的,其中
.且點(diǎn)為線段的中點(diǎn), , 現(xiàn)將△沿進(jìn)行翻折,使得二面角
的大小為,得到圖形如圖(2)所示,連接,點(diǎn)分別在線段上.
(1)證明: ;
(2)若三棱錐的體積為四棱錐體積的,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使恒成立,若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.
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