Question

（2012•順河區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-m|+4x．
（I）當(dāng)m=2時(shí)，解不等式：f（x）≤1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2的解集為{x|x≤-2}，求m的值．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f（x）=|2x-2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得 ①

x≥1 2x-2+4x≤1

，或 ②

x＜1 2-2x+4x≤1

，分別求出①②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由f（x）=

6x-m ，  x≥ m 2 2x+m ， x＜ m 2

，可得連續(xù)函數(shù)f（x） 在R上是增函數(shù)，故有f（-2）=2，分當(dāng)

m

2

≥-2和當(dāng)

m

2

＜-2兩種情況，分別求出m的值，即為所求．

解答：解：（I）當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f（x）=|2x-2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得 ①

x≥1 2x-2+4x≤1

，或 ②

x＜1 2-2x+4x≤1

．
解①可得x∈∅，解②可得x≤-

1

2

，故不等式的解集為 {x|x≤-

1

2

 }．
（Ⅱ）∵f（x）=

6x-m ，  x≥ m 2 2x+m ， x＜ m 2

，連續(xù)函數(shù)f（x） 在R上是增函數(shù)，由于f（x）≤2的解集為{x|x≤-2}，
故f（-2）=2，當(dāng)

m

2

≥-2時(shí)，有2×（-2）+m=2，解得 m=6．
當(dāng)

m

2

＜-2時(shí)，則有6×（-2）-m=2，解得 m=-14．
綜上可得，當(dāng) m=6或 m=-14 時(shí)，f（x）≤2的解集為{x|x≤-2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．