【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.

（1）若為的中點(diǎn)，求證：面；

（2）若二面角為，設(shè)，試確定的值.

【答案】(1)證明見解析 （2）

【解析】

（1）連接，交于，連接．證明．利用直線與平面平行的判定定理證明平面．
（2）以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的法向量，平面法向量，利用二面角為，求解的值，得到答案.

（1）證明：連接，交于，連接．
∵且，

四邊形為平行四邊形，且為中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以 ．
∵平面，平面.
∴面.

(2) ，為的中點(diǎn)，∴．
∵平面平面，且平面∩平面，
∴ 平面．
∵，

為的中點(diǎn)，∴四邊形為平行四邊形，∴．
∵,∴即

以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則

則平面的法向量為

設(shè)

設(shè)平面的法向量為

則 即

可取

由二面角為

所以

化簡得：，解得：或（舍）

所以，則

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且，點(diǎn)的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若射線與直線交于點(diǎn)，與曲線交于點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過焦點(diǎn)的斜率存在的直線與拋物線交于，，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知與拋物線交于點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)作斜率小于的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在，之間），過點(diǎn)作軸的平行線，交于，交于B，與的面積分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C過點(diǎn)M（1，），兩個焦點(diǎn)為A（﹣1，0），B（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l過點(diǎn)A（﹣1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求△BPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間（為自然對數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2022年第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行，為了宣傳冬奧會，某大學(xué)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生，對是否收看第23屆平昌冬奧會開幕式情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

收看

沒收看

男生

60

20

女生

20

20

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為，收看開幕式與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法選取8人，參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動，若從這8人中隨機(jī)選取2人到較廣播站開展冬奧會及冰雪項(xiàng)目宣傳介紹，求恰好選到一名男生一名女生的概率.

附：，其中.

P（）

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠預(yù)購軟件服務(wù)，有如下兩種方案：

方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務(wù)每次10元；

方案二：軟件服務(wù)公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務(wù)不超過15次，不另外收費(fèi)，若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元.

（1）設(shè)日收費(fèi)為元，每天軟件服務(wù)的次數(shù)為，試寫出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該工廠對過去100天的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，，與交于點(diǎn)，底面，為的中點(diǎn)，.

（1）求證： 平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正弦值.

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