Question

如圖，在三棱拄中，側(cè)面，已知AA₁=2,,

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）試在棱(不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置,使得；

(Ⅲ) 在（Ⅱ）的條件下,求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ） 見解析   （Ⅱ）為的中點(diǎn)  (Ⅲ)

解析:

（Ⅰ）因?yàn)?img width=40 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/158/55358.gif" >側(cè)面，故

 在△BC₁C中，

由余弦定理有

  故有 

  而     且平面

       ……4分

（Ⅱ）由

從而  且 故

 不妨設(shè)  ，則，則 

又  則

在直角三角形BEB₁中有   從而

故為的中點(diǎn)時， ……9分

 法二：以為原點(diǎn)為軸，設(shè)，則     

 由得    即

      

      化簡整理得       或

     當(dāng)時與重合不滿足題意    當(dāng)時為的中點(diǎn)

     故為的中點(diǎn)使 ……9分

 （Ⅲ）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn) 連則，連則，連則 連則，且為矩形，又   故為所求二面角的平面角

在中，

 ……14分

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角

因?yàn)?img width=143 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/35/55435.gif" >  

故  ……14分