【題目】已知F為拋物線C:y2=2px(P>0)的焦點(diǎn),過(guò)F垂直于x軸的直線被C截得的弦的長(zhǎng)度為4.
(1)求拋物線C的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)(m,0),且斜率為1的直線被拋物線C截得的弦為AB,若點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi),求m的取值范圍.
【答案】(1)y2=4x (2).
【解析】
(1)可得2p=4,從而可得拋物線C的方程,
(2)直線方程代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理,利用<0,即可求得m的取值范圍.
解:(1)由條件得2p=4,∴拋物線C的方程為y2=4x,
(2)設(shè)直線方程為y=x-m,代入y2=4x得y2-4y+4m=0,△=16-16m>0,m<1.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4,y1y2=4m
∵F(1,0),∴=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),
∵點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi),∴∠AFB為鈍角,即<0,
(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,
即x1x2-(x1+x2)+1+4m<0,
∴-[(y1+y2)+2m]+1+4m<0,
∴m2+2m-3<0,
解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形中,,,,,,分別在,上,,現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面.
(Ⅰ)若,在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn),且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由;
(Ⅱ)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC中,頂點(diǎn)A(1,0)、重心G垂心H
(1)求邊BC所在直線的方程;
(2)求邊AB、AC所在直線的方程;
(3)若P是△ABC內(nèi)部(包括邊界)一動(dòng)點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等軸雙曲線:的右焦點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)作一條漸近線的垂線且垂足為,.
(1)假設(shè)過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn),求的值;
(2)假設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于、兩點(diǎn),試問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn),使得為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分12分)
在如圖所示的多面體中,平面,,,,,,,是的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)前,以“立德樹(shù)人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對(duì)初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試,是激發(fā)學(xué)生、家長(zhǎng)和學(xué)校積極開(kāi)展體育活動(dòng),保證學(xué)生健康成長(zhǎng)的有效措施.程度2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試,三項(xiàng)考試滿(mǎn)分50分,其中立定跳遠(yuǎn)15分,擲實(shí)心球15分,1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開(kāi)始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,得到下邊頻率分布直方圖,且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表:
每分鐘跳繩個(gè)數(shù) | ||||
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中,任意選取2人,求兩人得分之和不大于35分的概率;;
(Ⅱ)若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布,用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差,已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn),該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練,正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步,假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè),現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型:
預(yù)計(jì)全年級(jí)恰有2000名學(xué)生,正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù);(結(jié)果四舍五入到整數(shù))
若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人,記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195以上的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量的分布列和期望.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對(duì)一切, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:對(duì)一切,都有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公交公司為了方便市民出行、科學(xué)規(guī)劃車(chē)輛投放,在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站,為研究車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間(分鐘)與乘客等候人數(shù)(人)之間的關(guān)系,經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):
間隔時(shí)間(分鐘) | ||||||
等候人數(shù)(人) |
調(diào)查小組先從這組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下:先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù),再求與實(shí)際等候人數(shù)的差,若差值的絕對(duì)值不超過(guò),則稱(chēng)所求線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”.
(1)從這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取組數(shù)據(jù)后,求剩下的組數(shù)據(jù)的間隔時(shí)間之差大于的概率;
(2)若選取的是后面組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;
(3)在(2)的條件下,為了使等候的乘客不超過(guò)人,則間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少分鐘?(精確到整數(shù))
參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題中真命題的序號(hào)是( ).
①平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓;
②平面內(nèi)與定點(diǎn)A(-3,0)和B(3,0)的距離之差等于4的點(diǎn)的軌跡為;
③點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上的射影是M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是,則的最小值是;
④已知P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是
A.①B.②C.③D.④
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