【題目】證明:任何一個(gè)正方形均可分割成個(gè)全等的非矩形圖形,其中,、為互不相等的素?cái)?shù).
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
若存在一個(gè)矩形可分割成個(gè)全等的非矩形圖形,則可通過(guò)倍長(zhǎng)這個(gè)矩形的兩邊長(zhǎng)將其拉伸成一個(gè)正方形.
此時(shí),可考慮用較簡(jiǎn)單的“角形”(如圖4)來(lái)分割該矩形.
因此,只需說(shuō)明存在個(gè)角形拼成的矩形,也就是說(shuō)存在一個(gè)面積為的矩形可完全分割成角形即可,不妨設(shè).
當(dāng)時(shí),對(duì)任意的素?cái)?shù),必存在一個(gè)面積為的矩形可分割成角形(由個(gè)的矩形并排組成的矩形),即任何一個(gè)正方形可分割成個(gè)全等的非矩形圖形.
當(dāng)時(shí),只需說(shuō)明存在一個(gè)面積為的矩形可分割成角形即可.
先將一個(gè)的矩形分割成15個(gè)角形(如圖5),稱(chēng)該矩形為“基本矩形”.
(1)若,,其基本矩形就是它的分割.故命題成立.
若,,由為素?cái)?shù),知為奇數(shù).
此時(shí),只需在基本矩形下添若干行的矩形即可,而每個(gè)的矩形是由三個(gè)的矩形并排而成,可分割成角形.故命題成立.
(2)若,由(1),知可用角形拼成一個(gè)的矩形.
由于,又為奇素?cái)?shù),為的倍數(shù),因此,可在原的矩形右側(cè)添加若干個(gè)的矩形,而每個(gè)的矩形可分割成角形,它們一起構(gòu)成一個(gè)面積為的矩形.
故命題成立.
綜上,對(duì)任意的素?cái)?shù)、,均存在一個(gè)矩形,可將其分割成個(gè)角形.
從而,任何一個(gè)正方形均可分割成個(gè)全等的非矩形圖形,其中,、為互不相等的素?cái)?shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分別是AB,PD的中點(diǎn),且PA=AD.
(Ⅰ)求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求證:平面PEC⊥平面PCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn),圓是以線段為直徑的圓,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相切.
(1)求橢圓及圓的方程;
(2)是否存在直線,使得直線與圓相切,與橢圓交于兩點(diǎn),且滿足?若存在,請(qǐng)求出直線的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次飛機(jī)航程中,調(diào)查男女暈機(jī)情況,在80名男乘客中有10人暈機(jī),70人不暈機(jī).在30名女乘客中有10人暈機(jī),20人不暈機(jī)
(1)請(qǐng)根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表
暈機(jī) | 不暈機(jī) | 總計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
總計(jì) |
(2)是否有把握認(rèn)為“是否暈機(jī)與性別有關(guān)”.
附:
0.050 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知函數(shù),點(diǎn)、分別是的圖象與軸、軸的交點(diǎn),、分別是的圖象上橫坐標(biāo)為、的兩點(diǎn),軸,且、、三點(diǎn)共線.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若,,求;
(3)若關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間上恰好有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某家電公司根據(jù)銷(xiāo)售區(qū)域?qū)N(xiāo)售員分成兩組.2017年年初,公司根據(jù)銷(xiāo)售員的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)分發(fā)年終獎(jiǎng),銷(xiāo)售員的銷(xiāo)售額(單位:十萬(wàn)元)在區(qū)間內(nèi)對(duì)應(yīng)的年終獎(jiǎng)分別為2萬(wàn)元,2.5萬(wàn)元,3萬(wàn)元,3.5萬(wàn)元.已知200名銷(xiāo)售員的年銷(xiāo)售額都在區(qū)間內(nèi),將這些數(shù)據(jù)分成4組: ,得到如下兩個(gè)頻率分布直方圖:
以上面數(shù)據(jù)的頻率作為概率,分別從組與組的銷(xiāo)售員中隨機(jī)選取1位,記分別表示 組與組被選取的銷(xiāo)售員獲得的年終獎(jiǎng).
(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期;
(2)試問(wèn)組與組哪個(gè)組銷(xiāo)售員獲得的年終獎(jiǎng)的平均值更高?為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“微信”和“QQ”是騰訊社交體系中的兩款產(chǎn)品,小明為了解不同群體對(duì)這兩款產(chǎn)品的首選情況,統(tǒng)計(jì)了周?chē)蠋熀屯瑢W(xué)關(guān)于首選“微信”或“QQ”的比例,得到如圖等高條形圖.根據(jù)等高條形圖中的信息,可判斷下列說(shuō)法正確的是( )
A.對(duì)老師而言,更傾向于首選“微信”
B.對(duì)學(xué)生而言,更傾向于首選“QQ”
C.首選“微信”的老師比首選“微信”的同學(xué)多
D.如果首選“微信”的老師比首選“微信”的同學(xué)多,則小明統(tǒng)計(jì)的老師人數(shù)一定比學(xué)生多
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