Question

如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、、，我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
（1）已知橢圓和，判斷與是否相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓為，且直線與橢圓為相交于兩點(diǎn)(異于端點(diǎn))，試問(wèn)：當(dāng)面積最大時(shí)，是否與有關(guān)？并證明你的結(jié)論.
（3）根據(jù)與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程，提出你認(rèn)為有價(jià)值的相似橢圓之間的三種性質(zhì)（不需證明）；

Answer 1

見(jiàn)解析.

第一問(wèn)中利用根據(jù)已知的的定義進(jìn)行判定特征三角形是否相似即可
第二問(wèn)中，設(shè)直線方程，借助于聯(lián)立方程組，和韋達(dá)定理可以表示斜率之積，然后可知為定植
第三問(wèn)中，利用類比推理的思想可知兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有：           
兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方；
分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；
兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合；
過(guò)原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長(zhǎng)度之比恰為橢圓的相似比
解：（1）由題意可知，橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、，我們稱為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比，所以橢圓與相似. ………2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214947220368.png" style="vertical-align:middle;" />的特征三角形是腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形，
而橢圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形，
因此兩個(gè)等腰三角形相似，且相似比為2:1                         ……… 4分
（2）橢圓的方程為：.
=與b無(wú)關(guān)                                 -----------6分
（3）橢圓的方程為：.        
兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有：           
兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方；
分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；
兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合；
過(guò)原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長(zhǎng)度之比恰為橢圓的相似比. ---------------6分