Question

【題目】定義：若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱兩個(gè)橢圓是“相似”的.如圖，橢圓與橢圓是相似的兩個(gè)橢圓，并且相交于上下兩個(gè)頂點(diǎn).橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，橢圓短軸長(zhǎng)是1，點(diǎn)分別是橢圓的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）函數(shù)在上的最大值.

【解析】

【試題分析】

解：（1）當(dāng)時(shí)， ，

令，得，

當(dāng)變化時(shí)， 的變化如下表：

		0
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

由上表可知，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.

（2），令，得，

令，則，所以在上遞增，

所以，從而，所以，

所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；

所以.

令，則，令，則，

所以在上遞減，而，

所以存在使得，且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>，所以在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”.

綜上，函數(shù)在上的最大值.