【題目】已知橢圓的焦距為2,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知是橢圓的內(nèi)接三角形,若坐標(biāo)原點為的重心,求點到直線距離的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由題意結(jié)合橢圓性質(zhì)可得,再結(jié)合點在橢圓上即可得解;
(2)設(shè),記線段中點為,由重心的性質(zhì)可得點,按照、分類,結(jié)合點差法、點到直線的距離可得,即可得解.
(1)因為橢圓的焦距為2,所以,
因為橢圓過點,所以.
解得,
故橢圓的方程為;
(2)設(shè),記線段中點為,
因為為的重心,所以,則點的坐標(biāo)為,
若,則,此時直線與軸垂直,
故原點到直線的距離為,即為1;
若,此時直線的斜率存在,
設(shè),則,
又,兩式相減得,
可得.
故直線的方程為即,
則點到直線的距離為,
將代入得,
因為,所以;
又,故原點到直線距離的最小值為.
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【題目】已知函數(shù).
Ⅰ若函數(shù)的最大值為3,求實數(shù)的值;
Ⅱ若當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
Ⅲ若,是函數(shù)的兩個零點,且,求證:.
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【題目】如圖,在棱長為1的正方體中,為棱上的動點(點不與點,重合),過點作平面分別與棱,交于,兩點,若,則下列說法正確的是( )
A.面
B.存在點,使得∥平面
C.存在點,使得點到平面的距離為
D.用過,,三點的平面去截正方體,得到的截面一定是梯形
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【題目】若存在實常數(shù)和,使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足:和恒成立,則稱此直線為和的“隔離直線”,已知函數(shù),,(為自然對數(shù)的底數(shù)),則( )
A.在內(nèi)單調(diào)遞增;
B.和之間存在“隔離直線”,且的最小值為;
C.和之間存在“隔離直線”,且的取值范圍是;
D.和之間存在唯一的“隔離直線”.
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【題目】為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改,設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為,用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱,已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.
給出下列四個結(jié)論:
①在這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;
②在時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;
③在時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo);
④甲企業(yè)在這三段時間中,在的污水治理能力最強.
其中所有正確結(jié)論的序號是____________________.
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【題目】某同學(xué)對函數(shù)進(jìn)行研究后,得出以下結(jié)論,其中正確的有( )
A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱
B.對定義域中的任意實數(shù)的值,恒有成立
C.函數(shù)的圖象與軸有無窮多個交點,且每相鄰兩交點間距離相等
D.對任意常數(shù),存在常數(shù),使函數(shù)在上單調(diào)遞減,且
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【題目】在①,②,③這三個條件中選擇兩個,補充在下面問題中,并給出解答.已知數(shù)列的前項和為,滿足________,________;又知正項等差數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列.
(1)求和的通項公式;
(2)證明:.
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【題目】已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點,且與圓相切.
(1)求的值;
(2)動點在拋物線的準(zhǔn)線上,動點在上,若在點處的切線交軸于點,設(shè).求證點在定直線上,并求該定直線的方程.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若曲線與曲線在公共點處有共同的切線,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,試問函數(shù)是否有零點?如果有,求出該零點;若沒有,請說明理由.
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