Question

【題目】已知點在圓上， 的坐標(biāo)分別為， ，線段的垂直平分線交線段于點

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設(shè)圓與點的軌跡交于不同的四個點，求四邊形的面積的最大值及相應(yīng)的四個點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）矩形的面積的最大值為，此時，

四個點的坐標(biāo)為： ， ， ， ．

【解析】試題分析：（1）由線段垂直平分線性質(zhì)得，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡，最后根據(jù)基本量求方程（2）由題意得四邊形為矩形，各點關(guān)于對稱軸對稱，因此可設(shè)點坐標(biāo)，表示四邊形的面積，再根據(jù)基本不等式求最值，最后求對應(yīng)點坐標(biāo)

試題解析：解：（Ⅰ）由已知得： ，而，

所以點的軌跡是以， 為焦點，長軸長的橢圓，

設(shè)，所以點的軌跡的方程： ．

（Ⅱ）由對稱性可知，四邊形為矩形，不妨設(shè)為橢圓上第一象限的點，

則，

而， ，且，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即， 時，取“”，

所以矩形的面積的最大值為，此時，

四個點的坐標(biāo)為： ， ， ， ．