【題目】(本題滿分15分)如圖,在四棱錐中,平面PAD⊥平面ABCD, ,,E是BD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EC//平面APD;
(Ⅱ)求BP與平面ABCD所成角的正切值;
(Ⅲ)求二面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)證明線面平行常用到的思路就是證明平面外的直線平行于平面內(nèi)的直線(Ⅱ)求BP與平面ABCD所成角首先找到斜線在平面中的射影,找到所求角,通過求解三角形三邊得到角的大小(Ⅲ)利用三垂線定理作出二面角的平面角∠PGH,解三邊即可求得角的正弦值
試題解析:(Ⅰ)如圖,取PA中點(diǎn)F,連結(jié)EF、FD,
∵E是BP的中點(diǎn),∴EF//AB且,
又∵∴EFDC∴四邊形EFDC是平行四邊形,故得EC//FD 2分
又∵EC平面PAD,FD平面PAD∴EC//平面ADE 4分
(Ⅱ)取AD中點(diǎn)H,連結(jié)PH,因?yàn)镻A=PD,
所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD ∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影 ∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角 6分
∵四邊形ABCD中,
∴四邊形ABCD是直角梯形,
設(shè)AB=2a,則,在中,易得,
,又∵,
∴是等腰直角三角形,
∴
∴在中, 10分
(Ⅲ)在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)H作AB的垂線交AB于G點(diǎn),連結(jié)PG,則HG是PG在平面ABCD上的射影,故PG⊥AB,所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角,由AB=2a 11分
,又∴,
在中,
∴二面角P-AB-D的的正弦值為 15分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=a﹣ ,x∈R,(其中a為常數(shù)).
(1)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知: , : ().
(1)若, 為假, 為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是的充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A與圓相切,且與圓相內(nèi)切,記圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線交曲線于、兩個(gè)不同的點(diǎn),求面積的最大值.
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【題目】下面結(jié)論正確的是( )
①一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
②由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì),這是一種合理推理.
③在類比時(shí),平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.
④“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù),某數(shù)一定是9的倍數(shù),則一定是9的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).
(1)若函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為﹣1和1,求實(shí)數(shù)b,c的值;
(2)若f(x)滿足f(1)=0,且關(guān)于x的方程f(x)+x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間(﹣3,﹣2),(0,1)內(nèi),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a﹣ .
(1)若f(x)為奇函數(shù),求a的值.
(2)證明:不論a為何值f(x)在R上都單調(diào)遞增.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(m>0)的離心率為,A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)是其右焦點(diǎn),P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn).
(1)求m的值及橢圓的準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)B且與x軸的垂直的直線交AP于點(diǎn)D,當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并加以證明.
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