【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與圓交于點(diǎn)A,B,與圓交于點(diǎn)C,D.
(1) 若AB=,求CD的長;
(2)若直線斜率為2,求的面積;
(3) 若CD的中點(diǎn)為E,求△ABE面積的取值范圍.
【答案】(1) (2) (3) .
【解析】
(1)分析直線斜率是否存在,當(dāng)斜率存在時(shí),利用圓中半弦長,半徑,弦心距構(gòu)成直角三角形求解即可(2)直線斜率為2,則直線方程為,求出弦長,點(diǎn)M到直線的距離,利用三角形面積公式求解即可(3)表示出△ABE的面積S=AB·d=2,令,換元后根據(jù)二次函數(shù)求最值即可.
(1) 由題可知,直線AB斜率顯然存在,設(shè)為k,則直線AB:y=kx+1.
因?yàn)镺點(diǎn)到直線AB的距離d1=,
∴+=4,
∴AB=2
由2=得k2=15.
因?yàn)橹本AB與直線CD互相垂直,則直線CD:y=x+1,
∴M點(diǎn)到直線CD的距離d2=,
∴=1-,CD=2=2=.
(2) 直線斜率為2,則直線方程為
到直線距離為到直線距離為
(3)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),△ABE的面積S=×4×2=4;
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)為k,則直線AB:y=kx+1,k≠0,直線CD:y=-x+1.
由<1得k2>3, 所以k∈(-∞,-)∪(,+∞).
因?yàn)?/span>+=4,所以AB=2.
因?yàn)镋點(diǎn)到直線AB的距離即M點(diǎn)到直線AB的距離d==,
所以△ABE的面積S=AB·d=2.
令,則S=
∈.
綜上,△ABE面積的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(Ⅰ)若的最大值為,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)對于任意的,總有.求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:(x-2)(x+m)≤0,q:x2+(1-m)x-m≤0.
(1)若m=3,命題“p∧q”為真命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
(2)若p是q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè),從中任取2個(gè),則互斥而不對立的兩個(gè)事件是
A. 至少有一個(gè)白球;都是白球 B. 至少有一個(gè)白球;至少有一個(gè)紅球
C. 至少有一個(gè)白球;紅、黑球各一個(gè) D. 恰有一個(gè)白球;一個(gè)白球一個(gè)黑球
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義下凸函數(shù)如下:設(shè)f(x)為區(qū)間I上的函數(shù),若對任意的x1 , x2∈I總有f( )≥ ,則稱f(x)為I上的下凸函數(shù),某同學(xué)查閱資料后發(fā)現(xiàn)了下凸函數(shù)有如下判定定理和性質(zhì)定理: 判定定理:f(x)為下凸函數(shù)的充要條件是f″(x)≥0,x∈I,其中f″(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù).
性質(zhì)定理:若函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的下凸函數(shù),則對I內(nèi)任意的x1 , x2 , …,xn , 都有 ≥f( ).
請問:在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)f(x)=atanx+bx3+cx(a、b、c∈R),選取a、b、c的一組值計(jì)算f(1)、f(﹣1),所得出的正確結(jié)果可能是( )
A.2和1
B.2和0
C.2和﹣1
D.2和﹣2
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【題目】某氣象站觀測點(diǎn)記錄的連續(xù)4天里,AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y(單位cm)的情況如下表1:
M | 900 | 700 | 300 | 100 |
y | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
哈爾濱市某月AQI指數(shù)頻數(shù)分布如下表2:
M | [0,200] | (200,400] | (400,600] | (600,800] | (800,1000] |
頻數(shù) | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
(1)設(shè)x= ,根據(jù)表1的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸方程; (參考公式: ;其中 , )
(2)小張開了一家洗車店,經(jīng)統(tǒng)計(jì),當(dāng)M不高于200時(shí),洗車店平均每天虧損約2000元;當(dāng)M在200至400時(shí),洗車店平均每天收入約4000元;當(dāng)M大于400時(shí),洗車店平均每天收入約7000元;根據(jù)表2估計(jì)小張的洗車店該月份平均每天的收入.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在圓心角為,半徑為的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料,其中點(diǎn)為圓心,點(diǎn)在圓弧上,點(diǎn)在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形鐵皮卷成一個(gè)以為母線的圓柱形鐵皮罐的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗),設(shè)矩形的邊長,圓柱形鐵皮罐的容積為.
(1)求圓柱形鐵皮罐的容積關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)為何值時(shí),才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大?最大容積是多少? (圓柱體積公式:,為圓柱的底面枳,為圓柱的高)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸非負(fù)半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos=2.
(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離.
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