Question

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）用表示中較大者，記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負(fù),即可求解；

（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理,分類討論進(jìn)行求解

（1）,

①當(dāng)時,,

∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；

②當(dāng)時,令,解得或,

當(dāng)或時,,則單調(diào)遞增,

當(dāng)時,,則單調(diào)遞減,

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）（Ⅰ）當(dāng)時,所以在上無零點(diǎn)；

（Ⅱ）當(dāng)時,,

①若,即,則是的一個零點(diǎn)；

②若,即,則不是的零點(diǎn)

（Ⅲ）當(dāng)時,,所以此時只需考慮函數(shù)在上零點(diǎn)的情況,因為,所以

①當(dāng)時,在上單調(diào)遞增。又，所以

（ⅰ）當(dāng)時,在上無零點(diǎn)；

（ⅱ）當(dāng)時,,又,所以此時在上恰有一個零點(diǎn)；

②當(dāng)時,令,得,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

因為,,所以此時在上恰有一個零點(diǎn),

綜上,