Question

設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知S₃=7,且a₁+3,3a₂,a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，
由已知，得 ，  ……………………………………2分
即， 也即
解得    ……………………………………………………5分
故數(shù)列的通項(xiàng)為．     ……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴，……8分
又，
∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列  ………10分
∴
即．

分析：（1）由{an}是公比大于1的等比數(shù)列，S=7，且a+3，3a，a+4構(gòu)成等差數(shù)列，我們不難構(gòu)造方程組，解方程組即可求出相關(guān)基本量，進(jìn)而給出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）由b=lna，n=1，2，…，我們易給出數(shù)列{b}的通項(xiàng)公式，分析后可得：數(shù)列{b}是一個(gè)等差數(shù)列，代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求出T
解答：解：（1）由已知得：
解得a=2．
設(shè)數(shù)列{a}的公比為q，由a=2，
可得a=，a=2q．
又S=7，可知+2+2q=7，
即2q-5q+2=0，
解得q=2，q=
由題意得q＞1，
∴q=2
∴a=1．故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為a=2．
（2）由于b=lna，n=1，2，
由（1）得a=2
∴b=ln2=3nln2又b-b=3ln2
∴{b}是等差數(shù)列．
∴T=b+b++b
=
=
=ln2．
故T=ln2．
點(diǎn)評(píng)：解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時(shí)，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，然后代入進(jìn)行運(yùn)算．