在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,AB=PA=
1
a
BC(a>0)

(Ⅰ)當a=1時,求證:BD⊥PC;
(Ⅱ)若BC邊上有且只有一個點Q,使得PQ⊥QD,求此時二面角A-PD-Q的余弦值.
精英家教網(wǎng)
證明:(Ⅰ)∵PA垂直矩形底面ABCD,
∴PA垂直BD,
AB=PA=
1
a
BC(a>0)
,
a=1,
∴AB=PA=BC,
∴底面ABCD為正方形,
∴BD垂直于AC,
∴BD垂直于△PAC,
∴BD⊥PC.
(Ⅱ)∵AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在的直線為x軸,y軸,z軸,
建立坐標系

精英家教網(wǎng)

令AB=1,則BC=a,
B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),P(0,0,1),
設BQ=m,Q(1,m,0),(0≤m≤a),
要使PQ⊥QD,只要
PQ
QD
=-1+m(a-m)=0
,
即m2-am+1=0,
由△=a2-4=0,得a=2,此時m=1.
∴BC邊上有且只有一個點Q,使得PQ⊥QD時,
Q為BC的中點,且a=2,
設面PQD的法向量
p
=(x,y,1)
,
p
QD
=0
p
• 
DP
=0
,即
-x+y=0
-2y+1=0
,
p
=(
1
2
1
2
,1)
,
取面PAD的法向量
q
=(1,0,0)
,
則<
p
,
q
>的大小與三面角A-PD-Q的大小相等,
∵cos<
p
,
q
>=
p
q
|
p
||
q
|
=
6
6
,
∴二面角A-PD-Q的余弦值為
6
6
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC、PB的中點.
(1)求證:PB⊥DM;
(2)求BD與平面ADMN所成角的大;
(3)求二面角B-PC-D的大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4.AB=2,AN⊥PC于點N,M是PD中點.
(1)用空間向量證明:AM⊥MC,平面ABM⊥平面PCD.
(2)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值.
(3)求點N到平面ACM的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,O為底面中心,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB.M是PD的中點
(1)求證:直線MO∥平面PAB;
(2)求證:平面PCD⊥平面ABM.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)求證:AD⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•成都模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且PD⊥平面ABCD,PD=AB=1,EF分別是PB、AD的中點,
(I)證明:EF∥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角B-CE-F的大。

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