Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）求證：AD⊥平面PAB；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理逆定理，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)得到AD⊥PA，又AD⊥AB，PA、AB是平面PAB內(nèi)的相交直線，所以AD⊥平面PAB；
（2）分別以AB、AD為x、y軸建立如圖坐標(biāo)系，可得P、B、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到

PD

=（-1，2，-

3

），

PB

=（2，0，-

3

），算出平面PBD的一個(gè)法向量為

n

=（2

3

，3

3

，4），結(jié)合平面PAB的一個(gè)法向量為

AD

=（0，2，0，利用空間向量的夾角公式算出

AD

，

n

夾角余弦，即得二面角A-PB-D的余弦值．

解答：解：（1）在△PAD中，由題設(shè)PA=AD=2，PD=2

2

，可得
PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA…（3分）
∵在矩形ABCD中，AD⊥AB，PA、AB是平面PAB內(nèi)的相交直線
∴AD⊥平面PAB；…（6分）
（2）∵AD⊥平面PAB，AD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAB
分別以AB、AD為x、y軸建立如圖坐標(biāo)系，
根據(jù)平面ABCD⊥平面PAB且∠PAB=60°得P（1，0，

3

），B（3，0，0），
D（0，2，0）…（9分）
∴

PD

=（-1，2，-

3

），

PB

=（2，0，-

3

）
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
∴

n • PB =2x- 3 z=0 n • PD =-x+2y- 3 z=0

，取x=2

3

，得

n

=（2

3

，3

3

，4），
又∵平面PAB的一個(gè)法向量為

AD

=（0，2，0）…（11分）
∴cos＜

AD

，

n

＞=

AD • n

| AD |•| n |

=

6 3

55 •2

=

3 165

55

因此，二面角A-PB-D的余弦值等于

3 165

55

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題在四棱錐中求證線面垂直，并求二面角的余弦之值，著重考查了直線與平面垂直的判定和用空間向量求平面間的夾角等知識(shí)，屬于中檔題．