Question

【題目】已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上各取兩個點，其坐標分別是，，，．

（）求，的標準方程．

（）過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），（2）或．

【解析】

(1) 根據題意布列關于待定系數的方程組，解之即可;

(2) 設直線l：y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數量積，結合已知條件能求出直線l的斜率k的取值范圍．

解：（）由題意拋物線的頂點為原點，

所以點一定在橢圓上，且，則橢圓上任何點的橫坐標的絕對值都小于等于，

所以也在橢圓上，，，故橢圓標準方程，

所以點、在拋物線上，且拋物線開口向右，其方程，，，

所以方程為．

（）①當直線斜率不存在時，易知三點共線，不符題意．

②當斜率存在時，設，，，

，

，

，

令，

，

，

或，

，，

，

,

,

,

，

令

，

即，

或．

綜上：或．