Question

【題目】已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列滿足，.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n－1（2）①bn＝，n∈N*．②m＝3，n＝8

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式得，解方程組得或（舍去），從而可得an＝2n－1（2）①因?yàn)?/span>＝，所以利用疊加法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式bn－b1＝，即bn＝，n∈N*．②由b2，bm，bn成等差數(shù)列，得b2＋bn＝2bm．解出關(guān)系：2m＝7－．最后根據(jù)分?jǐn)?shù)整除性，得只有當(dāng)n＋1＝9，即n＝8時(shí)，m＝3，滿足題意

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d＞0．

由a2·a3＝15，S4＝16，得

解得或（舍去）

所以an＝2n－1．

（2）①因?yàn)?/span>b1＝a1，bn＋1－bn＝，

所以b1＝a1＝1，

bn+1－bn＝＝，

即 b2－b1＝，

b3－b2＝，

……

bn－bn－1＝，（n≥2）

累加得：bn－b1＝，

所以bn＝b1＋＝1＋＝．

b1＝1也符合上式．

故bn＝，n∈N*．

②假設(shè)存在正整數(shù)m、n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差數(shù)列，

則b2＋bn＝2bm．

又b2＝，bn＝＝－，bm＝－，

所以＋(－)＝2(－)，即＝＋，

化簡得：2m＝＝7－．

當(dāng)n＋1＝3，即n＝2時(shí)，m＝2，（舍去）；

當(dāng)n＋1＝9，即n＝8時(shí)，m＝3，符合題意．

所以存在正整數(shù)m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差數(shù)列．